12-4 · 필기 4과목 · 🔴 전문가

회로이론 및 제어공학 📈

교류를 복소수(페이저)로, 시스템을 s(라플라스)로 다루는 과목. 공학용 계산기 복소수 모드를 익히면 가장 빨리 점수가 오르는 과목이에요.

한 줄 비유회로이론은 회로의 수학 언어예요. 영어 문법을 알면 문장을 읽듯, 이 문법을 알면 회로를 읽을 수 있어요!

① 핵심 개념 — 회로이론

1. 직류회로 복습

비유갈림길에 들어온 물의 양 = 나간 물의 양(KCL), 한 바퀴 돌면 오르막 = 내리막(KVL).

옴의 법칙 V = IR, 직렬 R = R₁ + R₂, 병렬 R = R₁R₂/(R₁ + R₂). KCL: ΣI_in = ΣI_out, KVL: ΣV = 0.
테브난(전압원 + 직렬 R_th), 노튼(전류원 + 병렬 R), 중첩의 원리(전압원 단락, 전류원 개방), 밀만: V = Σ(E/R) / Σ(1/R).
최대전력 전달: R_L = R_th일 때 P_max = E² / (4R_th). 교류는 Z_L = Z_th* (공액).

2. 정현파 교류와 페이저

비유페이저는 빙글빙글 도는 시계바늘의 "사진 한 장"이에요. 길이 = 크기, 각도 = 출발 시각.

v = V_m sin(ωt + θ) ⇒ V̇ = V∠θ = V cosθ + jV sinθ실효값 V = V_m/√2 · 평균값 V_av = 2V_m/π · 파고율 √2 ≈ 1.414 · 파형률 ≈ 1.11

곱셈·나눗셈은 극형식(크기 곱·각도 합), 덧셈·뺄셈은 직교형이 편해요. 파형별: 구형파 파고율·파형률 = 1, 삼각파 파고율 √3.

3. R · L · C 임피던스

비유저항은 평범한 방지턱, 코일은 "빠른 변화"를 싫어하는 무거운 문, 콘덴서는 "느린 변화"를 막는 양동이예요.

Z_R = R , Z_L = jωL , Z_C = 1/(jωC) = −j/(ωC)X_L = 2πfL (주파수 ↑ → 커짐), X_C = 1/(2πfC) (주파수 ↑ → 작아짐)

직렬 RLC: Z = R + j(X_L − X_C) , |Z| = √(R² + (X_L − X_C)²)θ = tan⁻¹((X_L − X_C)/R) · θ > 0 유도성(전류 지상), θ < 0 용량성(전류 진상)

L에서는 전류가 전압보다 90° 뒤지고, C에서는 90° 앞서요 — "ELI the ICE man" (L: E가 I 앞, C: I가 E 앞).

4. 공진

비유그네를 딱 맞는 박자로 밀면 적은 힘으로 높이 올라가요. 그 박자가 공진 주파수!

f₀ = 1 / (2π√(LC))직렬: Z 최소(= R), 전류 최대 · 병렬: Z 최대, 전류 최소

선택도(첨예도) Q: 직렬 Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C) = V_L/V (전압 확대비), 병렬 Q = R√(C/L).

5. 교류전력과 역률

비유맥주잔: 맥주 = 유효전력(P, 실제 일), 거품 = 무효전력(Q), 잔 전체 = 피상전력(S).

P = VI cosθ [W] , Q = VI sinθ [var] , S = VI [VA]S² = P² + Q² · 역률 cosθ = P/S = R/|Z| · 복소전력 Ṡ = V̇·İ* = P + jQ (지상 Q > 0 규약)

직렬 회로에서 P = I²R, Q = I²X. 병렬 회로에서 P = V²/R, Q = V²/X.

6. 3상 회로

비유세 명이 120°씩 박자를 나눠 페달을 밟는 3인용 자전거예요. 힘이 끊기지 않고 부드러워요.

결선	전압	전류
Y (성형)	V_l = √3 V_p, 선간전압이 상전압보다 30° 앞섬	I_l = I_p
Δ (환형)	V_l = V_p	I_l = √3 I_p, 선전류가 상전류보다 30° 뒤짐

P = √3 V_l I_l cosθ = 3 V_p I_p cosθ = 3 I_p² R평형 Δ → Y 변환: Z_Y = Z_Δ/3 · 같은 전원에서 Δ 부하 전력 = Y 부하의 3배

2전력계법: P = W₁ + W₂, Q = √3(W₁ − W₂), cosθ = (W₁ + W₂) / (2√(W₁² + W₂² − W₁W₂)). W₁ = W₂이면 역률 1, 한쪽이 0이면 역률 0.5.

7. 대칭좌표법 (입문)

비유삐뚤어진 3상을 "가만히 있는 조각(영상) + 정방향 도는 조각(정상) + 반대로 도는 조각(역상)" 세 개의 레고로 분해해요.

V₀ = (V_a + V_b + V_c)/3 , V₁ = (V_a + aV_b + a²V_c)/3 , V₂ = (V_a + a²V_b + aV_c)/3a = 1∠120° = −½ + j(√3/2), 1 + a + a² = 0 · 불평형률 = V₂/V₁ × 100%

1선 지락: I₀ = I₁ = I₂ = E_a / (Z₀ + Z₁ + Z₂), 지락전류 I_g = 3I₀. 발전기 기본식: V₀ = −Z₀I₀, V₁ = E_a − Z₁I₁, V₂ = −Z₂I₂.

8. 비정현파와 과도현상

비유시정수 τ는 "적응 시간"이에요. τ만큼 지나면 목표의 약 63%까지 도달해요.

RL: i = (E/R)(1 − e^−(R/L)t), τ = L/RRC 충전: i = (E/R) e^−t/(RC), v_C = E(1 − e^−t/(RC)), τ = RC

t = τ에서 63.2%, 5τ에서 약 99% 도달. RLC 직렬: R² > 4L/C 비진동(과제동), = 임계, < 진동(부족제동).
비정현파 실효값 V = √(V₀² + V₁² + V₂² + …), 왜형률 = √(V₂² + V₃² + …) / V₁.
4단자망: AD − BC = 1 (가역). 분포정수 선로: 특성임피던스 Z₀ = √(Z/Y), 무손실 √(L/C), 전파속도 1/√(LC).

② 핵심 개념 — 제어공학

9. 라플라스 변환

비유라플라스 변환은 "어려운 미분 문제를 쉬운 곱셈 문제로 바꿔 주는 번역기"예요.

f(t)	F(s)	f(t)	F(s)
δ(t) 임펄스	1	sin ωt	ω / (s² + ω²)
u(t) 단위계단	1/s	cos ωt	s / (s² + ω²)
t	1/s²	e^−at sin ωt	ω / ((s + a)² + ω²)
tⁿ	n! / sⁿ⁺¹	e^−at cos ωt	(s + a) / ((s + a)² + ω²)
e^−at	1 / (s + a)	df/dt	sF(s) − f(0)
t e^−at	1 / (s + a)²	∫f dt	F(s)/s
f(t − T) (시간 추이)	e^−TsF(s)	e^−atf(t) (복소 추이)	F(s + a)

초기값 f(0⁺) = lim_s→∞ sF(s) , 최종값 f(∞) = lim_s→0 sF(s)최종값 정리는 sF(s)의 극이 모두 좌반면일 때만 사용

10. 전달함수와 블록선도

비유전달함수는 "자판기 규칙"이에요. 무엇을 넣으면(입력) 무엇이 나오는지(출력) 정해 둔 표.

G(s) = C(s) / R(s) (모든 초기값 0)비례 K · 미분 Ks · 적분 K/s · 1차 지연 K/(1 + Ts) · 2차 지연 ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²) · 부동작 시간 Ke^−Ls

부궤환 폐루프: C/R = G / (1 + GH)직렬 G₁G₂ · 병렬 G₁ ± G₂ · 복잡한 선도는 메이슨 공식 M = Σ(G_kΔ_k)/Δ

2차계 감쇠비 ζ: 0 < ζ < 1 부족제동(진동), ζ = 1 임계제동, ζ > 1 과제동, ζ = 0 무한 진동.
정상편차: 위치 K_p = lim G(s), 속도 K_v = lim sG(s), 가속도 K_a = lim s²G(s) (s→0). 계단 입력 e_ss = 1/(1 + K_p).
보드 선도: 이득 g = 20 log|G(jω)| [dB]. 이득여유·위상여유가 클수록 안정. 나이퀴스트 판별법도 출제.
제어기: P(비례), I(적분 — 잔류편차 제거), D(미분 — 속응성·오버슈트 억제), PID.

11. 안정도 — Routh-Hurwitz

비유안정한 시스템은 흔들어도 제자리로 돌아오는 오뚝이, 불안정한 시스템은 한 번 밀면 계속 굴러가는 공이에요.

특성방정식 1 + G(s)H(s) = 0 의 근(극)이 모두 s평면 좌반면에 있으면 안정. Routh 표의 1열 부호 변화 수 = 우반면 근의 수. 필요조건: 모든 계수가 같은 부호이고 빠진 차수가 없을 것.

s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0 안정 조건: a₁, a₂, a₃ > 0 이고 a₁a₂ > a₃

12. 시퀀스 제어 기초

비유시퀀스 제어는 "순서대로 하기 규칙"이에요. 초록불 → 노란불 → 빨간불처럼 정해진 순서로 켜고 꺼요.

a접점(NO, 평소 열림 — 누르면 닫힘), b접점(NC, 평소 닫힘 — 누르면 열림).
자기유지: 기동 버튼(a)과 병렬로 MC 자신의 a접점 → 버튼을 떼도 계속 동작. 인터록: 서로의 b접점을 직렬로 넣어 동시 동작 방지(정·역 운전).
논리: AND(직렬), OR(병렬), NOT(b접점). 드모르간: (A·B)′ = A′ + B′, (A + B)′ = A′·B′. 불 대수 A + AB = A, A + A′B = A + B.
타이머: 한시 동작(ON-delay), 한시 복귀(OFF-delay). 실기(필답형)에서도 래더도·타임차트 해석이 자주 나와요.

자기유지 회로 체험

PB1(기동, a접점)을 눌렀다 떼 보세요. MC가 자기 a접점으로 스스로 전원을 유지해요. PB2(정지, b접점)를 누르면 해제!

MC 꺼짐

③ 공식 카드 (눌러서 뒤집기)

실효값·평균값V, V_av눌러서 뒤집기

V = V_m/√2
V_av = 2V_m/π

파고율 1.414, 파형률 1.11 (정현파)

리액턴스X_L, X_C눌러서 뒤집기

X_L = 2πfL
X_C = 1/(2πfC)

L은 전류 90° 지상, C는 90° 진상

공진 주파수f₀눌러서 뒤집기

f₀ = 1/(2π√(LC))

직렬 공진: Z = R 최소, I 최대

선택도Q눌러서 뒤집기

직렬 Q = (1/R)√(L/C)
병렬 Q = R√(C/L)

직렬 Q = V_L/V (전압 확대비)

교류전력P, Q, S눌러서 뒤집기

P = VI cosθ
Q = VI sinθ
S² = P² + Q²

역률 = P/S = R/|Z|

3상 Y·Δ√3눌러서 뒤집기

Y: V_l = √3V_p
Δ: I_l = √3I_p

P = √3 V_lI_l cosθ

대칭좌표 1선지락I_g눌러서 뒤집기

I_g = 3E_a/(Z₀+Z₁+Z₂)

I₀ = I₁ = I₂

시정수τ눌러서 뒤집기

RL: τ = L/R
RC: τ = RC

τ에서 최종값의 63.2%

최종값 정리f(∞)눌러서 뒤집기

f(∞) = lim_s→0 sF(s)

초기값은 s→∞

피드백 전달함수C/R눌러서 뒤집기

G / (1 + GH)

부궤환. 정궤환은 1 − GH

2차계 표준형ζ, ω_n눌러서 뒤집기

ω_n² / (s² + 2ζω_ns + ω_n²)

0 < ζ < 1 부족제동(진동)

Routh 판별1열눌러서 뒤집기

부호 변화 수 = 우반면 근 수

3차: a₁a₂ > a₀a₃ 이면 안정

④ 시뮬레이터

RLC 직렬 회로 페이저 · 임피던스 탐색기

전원 100 V(실효값) 고정. 슬라이더로 R, L, C, 주파수를 바꾸면 페이저도·임피던스 삼각형·전력 삼각형이 함께 변해요.

저항 R

인덕턴스 L

커패시턴스 C

주파수 f

-X_L

-X_C

-|Z|

-위상각 θ

-전류 I

-공진 f₀

전압 페이저도 (기준: 전류 I)

임피던스 삼각형

전력 삼각형

-유효전력 P

-무효전력 Q

-피상전력 S

-역률 cosθ

아래 곡선은 주파수(로그 축 10 Hz ~ 1 kHz)에 따른 전류 I. 봉우리가 공진점이고, R이 작을수록 봉우리가 뾰족해져요(Q↑).

Routh 안정도 판별기

특성방정식 계수를 넣으면 Routh 표를 만들고 1열 부호 변화를 세어요.

차수 s⁴ s³ s² s¹ s⁰

⑤ 대표 문제

문제 1. R = 30 Ω, X_L = 70 Ω, X_C = 30 Ω 직렬회로에 100 V를 가했다. 전류, 역률, 유효·무효전력은?

Z = 30 + j(70 − 30) = 30 + j40 → |Z| = 50 Ω
I = 100/50 = 2 A, cosθ = 30/50 = 0.6, P = I²R = 120 W, Q = I²X = 160 var (지상)

문제 2. L = 10 mH, C = 10 μF 직렬회로의 공진 주파수는?

LC = 10⁻² × 10⁻⁵ = 10⁻⁷ → √(LC) = 3.162×10⁻⁴ → f₀ = 1/(2π × 3.162×10⁻⁴) ≈ 503 Hz

문제 3. 선간전압 380 V 평형 3상 전원에 상임피던스 6 + j8 Ω인 Y결선 부하를 연결했다. 3상 전력은?

V_p = 380/√3 ≈ 219.4 V, |Z| = 10 Ω → I_p = 21.94 A
P = 3I²R = 3 × 21.94² × 6 ≈ 8,664 W (약 8.66 kW)

문제 4. 특성방정식 s³ + 2s² + 3s + K = 0 이 안정하기 위한 K의 범위는?

Routh 표: s³ [1, 3] / s² [2, K] / s¹ [(6 − K)/2] / s⁰ [K]
1열이 모두 양수 → 6 − K > 0, K > 0 ⇒ 0 < K < 6

문제 5. F(s) = 5 / (s(s + 2)) 의 최종값 f(∞)는?

f(∞) = lim_s→0 s · 5/(s(s + 2)) = 5/2 = 2.5

문제 6. G(s) = 10/(s + 1), H(s) = 1인 부궤환 시스템의 폐루프 전달함수는?

C/R = G/(1 + GH) = (10/(s+1)) / (1 + 10/(s+1)) = 10 / (s + 11)

⑥ 자주 틀리는 포인트 (오답 노트)

✗ Y결선은 선전류 = √3 × 상전류 → ✓ Y는 전압이 √3배, Δ가 전류 √3배.
✗ 병렬 공진 시 전류 최대 → ✓ 병렬 공진은 Z 최대 → 전류 최소. 직렬 공진이 전류 최대.
✗ RL 시정수 = RL → ✓ L/R. RC는 RC. (단위로 확인: L/R [s])
✗ 최종값 정리 lim_s→∞ → ✓ 최종값은 s → 0, 초기값이 s → ∞. "끝(∞)은 영(0)으로"
✗ 부궤환 C/R = G/(1 − GH) → ✓ 부궤환은 1 + GH.
✗ 계산기 각도가 Rad인 채로 페이저 계산 → ✓ 시험 시작 전 Deg 확인!
✗ 2전력계법 Q = W₁ − W₂ → ✓ Q = √3(W₁ − W₂).

회로는 복소수 계산기, 제어는 라플라스 표 + Routh가 무기예요. 탐색기에서 f를 공진점으로 옮기면 θ = 0, 역률 1이 되는 걸 꼭 눈으로 확인해 봐요! 📈