전기자기학 🧲
눈에 보이지 않는 전계와 자계를 수식으로 다루는 과목. 공식이 많지만 "전기 ↔ 자기" 짝(쌍대성)을 알면 절반만 외워도 돼요.
① 핵심 개념
1. 쿨롱의 법칙
두 점전하 사이의 힘은 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례해요.
2. 전계와 전위
- 전기력선의 성질: 정(+)전하에서 나와 부(−)전하로 들어감, 서로 교차하지 않음, 등전위면과 수직, 도체 표면에 수직, 도체 내부에는 없음, 전하 Q에서 Q/ε₀개 발생.
- 도체의 성질: 도체 내부 전계 = 0, 도체 전체가 등전위, 전하는 표면에만 분포, 뾰족한 곳(곡률 반경 작음)에 전하 밀도가 큼.
3. 가우스 법칙
| 전하 분포 | 전계 E |
|---|---|
| 점전하 · 구도체 외부 | Q / (4πε₀r²) |
| 무한 직선 (선전하밀도 λ) | λ / (2πε₀r) |
| 무한 평면 (면전하밀도 σ) | σ / (2ε₀) — 거리와 무관 |
| 도체 표면 바로 밖 | σ / ε₀ |
| 균일하게 대전된 구 내부 (r < a) | Qr / (4πε₀a³) — 중심에서 0 |
4. 유전체와 정전용량
- 전속밀도 D = εE = ε₀E + P (P: 분극의 세기, P = ε₀(εₛ − 1)E)
- 경계조건: 전계 E의 접선성분 연속, 전속밀도 D의 법선성분 연속(면전하 없을 때). 굴절 관계 tanθ₁ / tanθ₂ = ε₁ / ε₂
- 유전체를 넣으면(εₛ배) 같은 전압에서 C와 Q가 εₛ배.
5. 전류와 자계 — 비오-사바르, 앙페르
| 도체 모양 | 자계 H [AT/m] |
|---|---|
| 무한장 직선 도체 | I / (2πr) |
| 원형 코일 중심 (반지름 a, 권수 N) | NI / (2a) |
| 무한장 솔레노이드 내부 (단위 길이당 권수 n) | nI (외부 0) |
| 환상 솔레노이드 내부 | NI / (2πr) |
| 유한 직선 도체 | I / (4πr) · (sinβ₁ + sinβ₂) 형태 |
- 자계 속 전류가 받는 힘(플레밍 왼손): F = BIl sinθ [N]. B = μH, μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m.
- 평행 도선 사이의 힘: F = 2I₁I₂ / r × 10⁻⁷ [N/m] — 같은 방향 전류는 흡인, 반대 방향은 반발.
- 자기 쿨롱 법칙: F = m₁m₂ / (4πμ₀r²) ≈ 6.33×10⁴ · m₁m₂ / r² [N]
- 자기회로: 기자력 F = NI, 자기저항 Rₘ = l / (μS), 자속 Φ = NI / Rₘ (전기회로의 옴의 법칙과 같은 꼴)
6. 전자유도 — 패러데이, 렌츠
7. 인덕턴스
직렬 합성: 가동 결합 L = L₁ + L₂ + 2M, 차동 결합 L = L₁ + L₂ − 2M. 자계 에너지 밀도 w = ½μH² = B² / (2μ) [J/m³].
8. 전자파 기초
- E와 H는 서로 수직이고 둘 다 진행 방향에 수직 (횡파). 포인팅 벡터 P = E × H [W/m²]가 에너지 흐름 방향.
- 맥스웰 방정식: rot H = J + ∂D/∂t (변위전류), rot E = −∂B/∂t, div D = ρ, div B = 0 (자기 단극자 없음)
🔁 전기 ↔ 자기 쌍대 표 (외울 양 절반으로!)
| 정전계 | 정자계 |
|---|---|
| 전하 Q [C] | 자하(자극) m [Wb] |
| 유전율 ε, ε₀ = 8.855×10⁻¹² | 투자율 μ, μ₀ = 4π×10⁻⁷ |
| 1/(4πε₀) ≈ 9×10⁹ | 1/(4πμ₀) ≈ 6.33×10⁴ |
| 전계 E, 전속밀도 D = εE | 자계 H, 자속밀도 B = μH |
| 에너지 밀도 ½εE² | 에너지 밀도 ½μH² |
| 정전용량 C | 인덕턴스 L |
② 공식 카드 (눌러서 뒤집기)
힘은 전하의 곱에 비례, 거리 제곱에 반비례 [N]
V = Q/(4πε₀r)
E는 r², V는 r에 반비례. V = E·r
div D = ρ
폐곡면을 나가는 전기력선 수 = 내부 전하/ε₀
평면 E = σ/(2ε₀)
무한 평면 전계는 거리와 무관!
W = ½CV²
면적 S에 비례, 간격 d에 반비례
= ε₀(εₛ−1)E
유전체 표면에 나타나는 분극 전하 밀도 [C/m²]
앙페르 주회적분에서 바로 유도 [AT/m]
a: 반지름. 비오-사바르 적분 결과
[N/m]. 같은 방향 흡인, 반대 방향 반발
e = Blv sinθ
(−): 렌츠의 법칙, 변화를 방해
M = k√(L₁L₂)
L은 권수 제곱에 비례. 합성 L₁+L₂±2M
η₀ ≈ 377 Ω
E/H 비. 진공 전파속도 3×10⁸ m/s
③ 시뮬레이터
두 점전하 — 쿨롱 힘과 전기력선
원(전하)을 끌어 옮겨 보세요. 화살표 = 각 전하가 받는 힘, 가는 선 = 대략적인 전기력선. 격자 1칸 = 10 cm.
계산: F = 9×10⁹ · |Q₁Q₂| / r², 전하 단위 μC. 전기력선은 수치적분으로 그린 근사 그림이에요(선 개수 ∝ |Q|).
패러데이 전자유도 — 자석과 코일
자석을 끌어서(또는 슬라이더로) 코일에 넣었다 빼 보세요. 검류계 바늘은 자속의 변화 속도 dΦ/dt에 비례해 움직여요. 멈추면 0!
자석을 빨리 움직일수록, 권수 N이 클수록 바늘이 크게 움직여요: e = −N·dΦ/dt. 코일 앞에서 멈추면 자속이 커도 e = 0이에요.
④ 대표 문제
문제 1. 진공 중에 2 μC과 5 μC의 점전하가 30 cm 떨어져 있다. 작용하는 힘은?
F = 9×10⁹ × (2×10⁻⁶)(5×10⁻⁶) / 0.3² = 9×10⁹ × 10⁻¹¹ / 0.09 = 0.09 / 0.09 = 1 N (같은 부호 → 반발력)
문제 2. 평행판 콘덴서의 간격을 1/2로 줄이고, 비유전율 3인 유전체를 채우면 정전용량은 몇 배?
C = ε₀εₛS/d 에서 d → d/2 (2배), εₛ → 3 (3배) ⇒ 6배
문제 3. 10 A가 흐르는 무한장 직선 도체에서 0.5 m 떨어진 점의 자계의 세기는?
H = I / (2πr) = 10 / (2π × 0.5) = 10 / 3.1416 ≈ 3.18 AT/m
문제 4. 권수 100회 코일의 쇄교 자속이 0.1초 동안 0.02 Wb에서 0으로 감소했다. 유도기전력의 크기는?
|e| = N · ΔΦ/Δt = 100 × 0.02 / 0.1 = 20 V. 방향은 감소하는 자속을 보충하는 쪽(렌츠).
문제 5. L₁ = 4 mH, L₂ = 9 mH, 결합계수 k = 0.5인 두 코일을 가동 직렬 접속했을 때 합성 인덕턴스는?
M = k√(L₁L₂) = 0.5 × √36 = 3 mH → L = L₁ + L₂ + 2M = 4 + 9 + 6 = 19 mH (차동이면 7 mH)
⑤ 자주 틀리는 포인트 (오답 노트)
- ✗ 전계는 거리에 반비례한다 → ✓ 점전하 전계는 r²에 반비례, 전위는 r에 반비례. (무한 직선 전계는 r, 무한 평면은 거리 무관)
- ✗ 도체 내부 전위는 0이다 → ✓ 도체 내부 전계가 0이고, 전위는 표면과 같은 값(등전위)이에요.
- ✗ 경계면에서 E의 법선성분이 연속 → ✓ E는 접선, D는 법선 성분이 연속. "E접 D법"으로 외우기.
- ✗ 콘덴서 직렬은 C를 더한다 → ✓ 콘덴서는 저항과 반대: 병렬이 합, 직렬이 역수 합.
- ✗ 같은 방향 전류가 흐르는 평행 도선은 반발 → ✓ 같은 방향은 흡인. (전하는 같은 부호가 반발 — 헷갈림 주의!)
- ✗ 자석을 코일 속에 가만히 두어도 전류가 흐른다 → ✓ 기전력은 자속 변화율에 비례. 변화가 없으면 0.
- ✗ μ₀ = 4π×10⁻⁹ → ✓ μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m, ε₀ = 8.855×10⁻¹² F/m. 지수 실수 빈번!